Cest quoi le paradoxe de Bertrand ?

Paradoxe de Bertrand: Les trois méthodes de probabilité

Découvrez le paradoxe de bertrand, un concept fascinant de la théorie des probabilités géométriques. Comprenez comment différentes méthodes de sélection mènent à des résultats divergents et évitez les confusions d'interprétation dans vos calculs.

Qu'est-ce que le paradoxe de Bertrand?

Le paradoxe de bertrand probabilité, énoncé en 1889 par le mathématicien Joseph Bertrand, est un problème célèbre de probabilités géométriques. Il met en lumière une contradiction apparente lorsque l'on cherche à définir mathématiquement la notion de hasard.

Si l'on choisit une corde au hasard dans un cercle, la probabilité qu'elle soit plus longue qu'un côté d'un triangle équilatéral inscrit change selon la méthode de choix utilisée. On obtient ainsi trois réponses justes, à savoir 1/2, 1/3 ou 1/4, pour une seule et même question.

La question de base et le contexte géométrique

Le problème commence par un cadre simple et précis. On prend un cercle, puis on y dessine un triangle équilatéral à l'intérieur. Ensuite, on trace une corde au hasard.

La question fondamentale est de savoir quelle est la chance que cette corde soit plus longue que le côté du triangle. Selon la manière dont le tirage aléatoire est formalisé, le résultat varie radicalement.

Les trois méthodes de tirage et leurs résultats

Le c'est quoi le paradoxe de bertrand s'articule autour de les trois méthodes du paradoxe de bertrand principales de sélection des cordes, chacune menant à une probabilité différente.

Méthode 1 - Les extrémités au hasard

Pour cette première méthode, on choisit un point fixe sur le cercle, puis un deuxième point au hasard sur tout le tour du cercle. On relie ensuite ces deux points pour former la corde. Le résultat mathématique de cette approche donne une probabilité de 1/3.

Méthode 2 - Le milieu au hasard

La deuxième méthode consiste à choisir un point au hasard n'importe où à l'intérieur du cercle. Ce point devient alors le milieu exact de la corde. Le calcul géométrique de cette méthode aboutit à une probabilité de 1/4.

Méthode 3 - Le rayon au hasard

Pour la troisième méthode, on trace un rayon perpendiculaire au milieu de la corde, puis on choisit un point au hasard sur ce rayon. Le résultat de ce tirage donne une probabilité de 1/2.

Pourquoi ce paradoxe existe-t-il?

La raison d'être de ce paradoxe réside dans le fait que le mot hasard n'est pas assez précis en géométrie. Selon la façon dont on choisit ou lance la corde - par ses bouts, par son milieu ou par sa distance au centre -, on ne mesure pas le même espace de possibilités.

Ce problème prouve qu'en mathématiques, il est impératif de définir clairement les règles du tirage aléatoire avant d'effectuer le moindre calcul.

Le duopole de Bertrand en économie

En dehors des mathématiques pures, il existe également un concept nommé le duopole de Bertrand en économie. Bien qu'il porte le même nom, il concerne la concurrence par les prix entre deux entreprises sur un marché.

Comparaison des trois méthodes du paradoxe de Bertrand

Méthode 1 - Extrémités au hasard

1. 1/3
2. Point fixe et point variable sur le cercle

Méthode 2 - Milieu au hasard

1. 1/4
2. Point aléatoire à l'intérieur du cercle servant de milieu exact

Méthode 3 - Rayon au hasard

1. 1/2
2. Point choisi sur un rayon perpendiculaire au milieu

L'expérimentation informatique des probabilités géométriques

Thomas, un étudiant en mathématiques à Lyon, a découvert le paradoxe de Bertrand lors de son cours de probabilités géométriques et a cru à une erreur de calcul.

Il a tenté de simuler le tirage des cordes sur son ordinateur en utilisant d'abord la méthode des extrémités, obtenant systématiquement un tiers de réussite.

En modifiant son algorithme pour basculer sur la méthode du milieu, il a constaté avec surprise que la fréquence observée convergeait vers un quart.

Cette expérience informatique lui a permis de comprendre que le hasard n'est pas une entité universelle, mais un outil mathématique qui exige des hypothèses de départ rigoureusement formalisées.